Числа под знаком корня

Как упростить квадратный корень

числа под знаком корня

Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня. Эта статья про корень из числа: даны определения квадратного, кубического корней и корня n-ой степени, показаны обозначения, приведены примеры. Как умножать корни. Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в.

Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла. Отсюда вытекает логичный вопрос: Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня.

Тогда встает следующий логичный вопрос: Вот ответ на него: Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Теперь докажем, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Переходим к случаям, когда a — положительное число.

Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Таким образом, числа b и c равны или противоположны. Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c.

Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня. Определение Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение. Знак называется знаком арифметического квадратного корня.

Его также называют знаком радикала. Например, в записи число — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением. В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a. Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как.

Например, квадратные корни из числа 13 есть. Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть. Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел.

Например, лишены смысла выражения и На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корнейкоторые часто применяются на практике. Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней. К началу страницы Кубический корень из числа Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня.

числа под знаком корня

Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата. Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a.

Приведем примеры кубических корней. Можно показать, что кубический корень из числа a, в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a, но и для любого действительного числа a. Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня. Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a.

Для этого отдельно рассмотрим три случая: Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом. Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a, обозначим его c. Этим доказана единственность кубического корня из положительного числа a. А зачем она нужна? Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности.

Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое. Вот вам простенький пример: Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения. Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора!

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах. Сравните вот эти выражения.

числа под знаком корня

Какое из них больше? Так сразу и не скажешь А если внести числа под знак корня? Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов: Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли.

Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Разве это что-то даёт!?

Квадратный корень. Начальный уровень.

Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора! Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся! Как извлекать корни из больших чисел? Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!?

У нас огромное число и всё Да, произведения здесь. Но если нам надо - мы его сделаем! Разложим это число на множители. Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Идите в Особый разделтема "Дроби"там они.

На 3 и на 9 делится это число. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему сейчас поймёте, почемуа вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Вот мы и нашли два множителя! Первый - девятка это мы сами выбралиа второй - такой уж получился. С числом поступим аналогично.

Квадратный корень

Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. А это число мы знаем! Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно.

Формулы корней. Свойства корней. Как умножать корни? Примеры.

Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и - вперёд!

числа под знаком корня

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается!

числа под знаком корня

Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт! Может и не повезти. Скажем, число при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат: Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера может и без упрощения всё посокращаетсяа вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из сделали? Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция.

А то попадётся задание - "вынести множитель из-под знака корня" а мужики-то и не знают Вот вам ещё одно применение свойства корней.